گسترش روش زنجیره های مارکوف با احتمالات فاصله ای

ما در این تحقیق زنجیره های نیمه مارکفی را وقتی احتمالات به صورت فاصله ای تعریف شوند، مدل سازی و بررسی کردیم استفاده از زنجیره های نیمه مارکوفی در بسیاری از پدیده های واقعی موفق تر از بکارگیری زنجیره های مارکوفی هستند. و نیمه مارکفی ها به نوعی فضای بین زنجیره های مارکوف زمان گسسته و زمان پیوسته را پوشش می دهد. نیمه مارکوفی ها نسبت به فرایندهای مارکوفی محدودیت کمتری دارند در فرایند های مارکوفی فرض بر این است که هر گام زمانی از توزیع نمایی پیروی می کند در صورتی که در فرایند های نیمه مارکوفی هر گام زمانی می تواند دارای هر توزیع دلخواهی با مقادیر مثبت باشد. به همین دلیل بسیاری از پدیده ها که از مدل مارکوف پیروی نمی کنند، می توانند توسط نیمه مارکوفی ها مدل سازی شوند. در مدل های مارکوفی تمرکز ما بر روی احتمالات گذار و توزیع حدی است، در حالی که در مدل نیمه مارکوفی از آنجا که ما توزیع مدت زمان ماندن در یک وضعیت را نیز در نظر می گیریم وبا توجه به آن ماتریس زمان توقف تعریف می شود، می تواند به تحلیل جامع تر پدیده مورد نظر ما کمک نماید. به طور مثال در مدل مارکوفی ما می توانیم مدت زمانی که طول می کشد تا زنجیره به یک وضعیت خاص وارد شود را به دست آوریم در حالی که در زنجیره های نیمه مارکوفی علاوه بر این مدت زمانی که زنجیره در آن وضعیت می ماند را نیز می توان محاسبه نمود. به تبع آن ما در زنجیره مارکف احتمال وارد شدن به یک وضعیت خاص را به دست می آوریم در حالی که در زنجیره های نیمه مارکوف، ما می توانیم احتمال اینکه زنجیره در یک وضعیت خاص باشد، را نیز محاسبه نماییم. از طرف دیگر، با وجود اختلاف نظراتی که در مورد مفهوم ارزیابی احتمال وجود دارد، بکارگیری احتمال فاصله ای می تواند در بسیاری از موقعیت ها مفید باشد. ما در این تحقیق به بیان اصول احتمالات فاصله ای، هم چنین تعاریف و مفاهیم مربوط به آن وهمچنین مفاهیم احتمال شرطی در این حوزه پرداختیم. با آنکه تئوری احتمالات فاصله ای علم نوپایی می باشد و تقریباً اولین تحقیقات منسجمی که در این زمینه انجام شد به سال 1990 بر می گردد، اما این تئوری به سرعت در حال گسترش می باشد. بسیاری از پدیده ها در دنیای واقعی قابل انطباق با احتمالات نقطه ای و دقیق نیستند. این وضعیت به سه دلیل است: 1) در بسیاری جاها به دست آوردن اطلاعات وداده ها به صورت دقیق به دلیل صرف هزینه زیاد مقرون به صرفه نیست 2) در بسیاری از جاها پدیده ذاتاً از احتمالات نقطه ای پیروی نمی کند. 3) در بسیاری از موارد یک دسته از داده ها خود از چندین توزیع پیروی می نماید که ما به این نیاز داریم که یا هر کلاس از داده ها را از هم جدا کرده و روی هر کلاس به طور جداگانه تحلیل های خود را انجام دهیم (که در بر خی موارد امکان ان وجود ندارد ). ولی گاهی اوقات ما نیاز به این داریم که داده ها با یکدیگر در نظر گرفته شوند و مورد تحلیل قرار گیرندمانند مطالعه موردی که مورد بررسی قرار دادیم. در واقع احتمالات فاصله ای را می توان تعمیمی از احتمالات نقطه ای در نظر گرفت. به همین ترتیب نظریه احتمالات فاصله ای با احتمال کلاسیک به صورت یک وضعیت خاص برخورد می کند. ذکر این نکته ضروری است که بین برآورد فاصله ای و احتمالات فاصله ای تفاوت وجود دارد. در واقع برآورد فاصله ای جزء احتمالات دقیق می باشد و با یک قابلیت اطینان مشخص، نشان می دهد که پارامتر جامعه ی ما ( که دارای یک تابع توزیع مشخص و منحصر به فرد است) در چه فاصله ای می تواند باشد، ولی احتمالات فاصله ای انواع جدیدی از عدم قطعیت را مدل می کند پارامترهای مدل زنجیره مارکوف از جمله احتمالات گذار که معمولاً با احتمالات نقطه ای توصیف می گردند، در مواردی با نوع جدیدی ازعدم قطعیت مواجه هستند. در این نوع عدم قطعیت احتمالات فاصله ای بهتر می توانند به کار گرفته شوند چنانچه ما در این تحقیق توزیع احتمالات اولیه و ماتریس احتمالات گذار را با احتمالات غیر دقیق جا به جا کردیم تا بدین ترتیب بتوانیم قابلیت اطمینان و دقت مدل سازی را افزایش دهیم. ما نشان دادیم که زنجیره های مارکوف که احتمالات اولیه و گذار آن به صورت غیر دقیق می باشد را می توان به صورتی همانند زنجیره های مارکوف دقیق، یعنی به وسیله جبر ماتریسی ارائه نمود. دو روش پیشرو و پسرو مطرح شدند. علاوه بر این ما وجود و ویژگی های مجموعه های پایا از احتمالات را بررسی نمودیم. همچنین نشان دادیم که با استفاده از احتمالات فاصله ای در زنجیره نیمه مارکوفی، زمان های توقف، اقامت موقت و ماندگاری کل در یک وضعیت را به صورت کران بالایی و پایینی بدست می آوریم که در واقعیت نشان دهنده حداقل و حداکثر زمان های مورد نظر است